Điều kiện xác định

\(\hept{\begin{cases}2-x^2+2x\ge0\\-x^2-6x-8\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-0,73\le x\le2,73\\-4\le x\le-2\end{cases}}\)

=> Tập xác định là tập rỗng

Vậy pt vô nghiệm

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

cái j zị

đề bị sao r đó

theo kinh nghiệm lâu năm của tui thì đề là;

\(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}=2x^2-5x\) nhưng sao là hệ nhỉ

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 5$

$2x^2-8x-6=2\sqrt{x-5}\leq (x-5)+1$ theo BĐT Cô-si

$\Leftrightarrow 2x^2-9x-2\leq 0$

$\Leftrightarrow 2x(x-5)+(x-2)\leq 0$

Điều này vô lý do $2x(x-5)\geq 0; x-2\geq 3>0$ với mọi $x\geq 5$

Vậy pt vô nghiệm nên không có đáp án nào đúng.

\(\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2\sqrt{2\left(x-2\right)}}+\sqrt{x-2\sqrt{2\left(x-2\right)}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{\left[x+2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]\left[x-2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]}=8\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left[x+2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]\left[x-2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]}=8-2x\)

\(\Leftrightarrow4\left[x+2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]\left[x-2\sqrt{2\left(x-2\right)}\text{ }\right]=64-32x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-32x+64=64-32x+4x^2+\)

\(\Leftrightarrow64=64\) (Đúng)

⇒ Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy \(S=\mathbb R\).

\(\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}=2\sqrt{2}\)

ĐK: \(x\ge2\), PT tương đương với:

\(x+2\sqrt{2x-4}+2\sqrt{\left(x+2\sqrt{2x-4}\right)\left(x-2\sqrt{2x-4}\right)}+x-2\sqrt{2x-4}=8\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-4\left(2x-4\right)}=8\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-8x+16}=8\\ \Leftrightarrow x+\left|x-4\right|=8\)

Với x < 4 => \(x+4-x=8\)

\(\Leftrightarrow4=8\) (loại)

Với \(x\ge4\) => \(x+x-4=8\)

\(\Leftrightarrow x=6\) (thỏa mãn)

PT \(\Leftrightarrow2x^2+\sqrt{2-x}=2x^2.\sqrt{2-x}\)

Đặt \(2x^2=a;\sqrt{2-x}=b\left(a,b\ge0\right)\)

Phương trình trở thành: \(a+b=ab\Leftrightarrow a-ab+b=0\)

Tới đây bí :v

Nghĩ đc bài nào làm bài đấy ^^

\(\text{1)}\sqrt{x^2+x-3}=x+m\)\(\text{(ĐKXĐ: }x^2+x-3\ge0\)\(\text{)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-3=x^2+2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow x-2mx=m^2+3\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-2m\right)=m^2+3\)(1)

*Nếu 1 - 2m = 0 thì \(m=\frac{1}{2}\)

Khi đó pt (1) \(\Leftrightarrow0x=\frac{1}{4}+3\)

Pt vô nghiệm

*Nếu 1 - 2m \(\ne\)0 thì \(m\ne\frac{1}{2}\)

Khi đó pt (1) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{m^2+3}{1-2m}\)

Kết hợp ĐKXĐ \(x^2+x-3\ge0\)

                    \(\Leftrightarrow\frac{\left(m^2+3\right)^2}{\left(1-2m\right)^2}+\frac{m^2+3}{1-2m}-3\ge0\)

Đến đây quy đồng lên được điều kiện của m và kết hợp m khác 1/2

=> KL

2) ĐKXĐ : -1 < x < 8

 Đặt \(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}=a\ge0\)

\(\Rightarrow a^2=9+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{a^2-9}{2}\)

Khi đó \(a+\frac{a^2-9}{2}=m\)

 \(\Leftrightarrow2a+a^2-9=2m\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a-9-2m=0\)(1)

Xét \(\Delta'=1-\left(-9-2m\right)=10+2m\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-5\)

Từ (1) \(\Rightarrow a^2+2a-9=2m\ge2\left(-5\right)=-10\)

           \(\Leftrightarrow a^2+2a-9\ge-10\)

            \(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge0\)

            \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy *với m> -5 thì pt có vô số nghiệm nằm trong khoảng -1 < x < 8

       * với m < -5 thì pt vô nghiệm

P/S: chả bt cách này đúng ko nx =.='    

\(\sqrt{4+20x}=3x+2\left(x\ge-\dfrac{1}{5}\right)\\ \Leftrightarrow4+20x=9x^2+12x+4\\ \Leftrightarrow9x^2-8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(9x-8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(N\right)\\x=\dfrac{8}{9}\left(N\right)\end{matrix}\right.\\ \sqrt{2x+5}=x+1\left(x\ge-\dfrac{5}{2}\right)\\ \Leftrightarrow2x+5=x^2+2x+1\\ \Leftrightarrow x^2-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(N\right)\\x=-2\left(N\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{4+20x}=3x+2\\ \Leftrightarrow4+20x=\left(3x+2\right)^2\\ \Leftrightarrow4+20x=9x^2+12x+4\\ \Leftrightarrow-4-20x+9x^2+12x+4=0\\ \Leftrightarrow9x^2-8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(9x-8\right)=0\\ \Leftrightarrow x=0hoặcx=\dfrac{8}{9}\)

\(\sqrt{2x+5}=x+1\\ \Leftrightarrow2x+5=\left(x+1\right)^2\\ \Leftrightarrow2x+5=x^2+2x+1\\ \Leftrightarrow x^2+2x+1-2x-5=0\\ \Leftrightarrow x^2-4=0\\ \Leftrightarrow x^2=4\\ \Leftrightarrow x=\pm2\)

a: Ta có: \(\sqrt{20x+4}=3x+2\)

\(\Leftrightarrow9x^2+12x+4=20x+4\)

\(\Leftrightarrow9x^2-8x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(9x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=\dfrac{8}{9}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)